ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Οι πιο πολλοί από εσάς έχετε σίγουρα δει την ταινία του 2001, «Ένας υπέροχος άνθρωπος» («A Beautiful Mind»), όπου πρωταγωνιστεί ο Rassell Crowe και στην οποία ενσαρκώνει τον χαρακτήρα του John Nash, ενός μεγαλοφυούς επιστήμονα, που πάσχει από σχιζοφρένεια, την οποία αποδέχεται πλήρως και μαθαίνει να ζει μεταξύ λογικής και παραλόγου, αφήνοντας στην ουσία τις παραισθήσεις να «παίζουν» στο παρασκήνιο της καθημερινότητάς του. Η ιστορία, λοιπόν, αυτή δεν είναι καθόλου αποκύημα της φαντασίας κάποιων ανθρώπων. Ο John Nash υπάρχει και η σύγχρονη οικονομική θεωρία έχει πάρει πολλές ιδέες κι αρχές από αυτές που πρώτος ο Nash σκέφτηκε με το ομολογουμένως «παράξενο» μυαλό του. Ας δούμε όμως την ιστορία αυτού του εξαιρετικά ενδιαφέροντα ανθρώπου, που η ιστορία του ξεκίνησε από μια μικρή πόλη της Δ. Βιρτζίνια, από μια μεσοαστική οικογένεια.
ΤΑ ΠΡΩΤΑ ΧΡΟΝΙΑ
Ο Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash Jr.) είναι ένας Αμερικανός μαθηματικός και οικονομολόγος, που γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου του 1928 στο σανατόριο της πόλης Bluefield, στη Δ. Βιρτζίνια. Ο πατέρας του ήταν πτυχιούχος στην εφαρμοσμένη ηλεκτρική μηχανική και παλιότερα είχε πολέμησε στον Β’ Παγκόσμιο πόλεμο σαν υπολοχαγός στις υπηρεσίες ανεφοδιασμού στο μέτωπο της Γαλλίας. Η μητέρα του Margaret Virginia Martin είχε γεννηθεί στο Bluefιeld, σπούδασε στο πανεπιστήμιο της Δ. Βιρτζίνια, και πριν από το γάμο της εργάστηκε σαν δασκάλα αγγλικής γλώσσας, αλλά και της λατινικής. Κατά τη διάρκεια της ζωής της υπέστη μερική απώλεια ακοής εξαιτίας μια παλιότερης αρρώστιας που της προκάλεσε ψηλό πυρετό. Και οι δυο γονείς του ήρθαν στο Bluefield από την δυτική Β. Καρολίνα. Επίσης είχε και μια αδερφή, δυόμισι χρόνια μικρότερη, τη Martha.
Ο John Nash από μικρό παιδί είχε στη διάθεσή του έναν ατέλειωτο πλούτο γνώσεων που προερχόταν από τον μεγάλο όγκο από εγκυκλοπαίδειες κι άλλα βιβλία που βρίσκονταν στα ράφια της μεγάλης βιβλιοθήκης του σπιτιού του. Όπως περιέγραφε αργότερα η δασκάλα του, ο John Nash έδειχνε να ξεχωρίζει από τα άλλα παιδιά του σχολείου του, χωρίς να είναι ένας άριστος μαθητής. Διάβαζε, όμως, χωρίς τελειωμό, έπαιζε σκάκι, περπατούσε και μπορούσε να σφυρίζει ολόκληρες συμφωνίες του Μπαχ, αλλά το πιο σημαντικό απ’ όλα ήταν μια μοναδική ανεξήγητη ικανότητα που είχε, να αναζητά διαρκώς νέους τρόπους προσέγγισης των πραγμάτων.
ΣΤΟ PRINCETON
Στο πανεπιστήμιο άρχισε να φαίνεται η ιδιοφυΐα του. Το 1947, λίγους μόλις μήνες μετά τον ερχομό του στο Πρίνστον, σε ηλικία 19 ετών, πλησίασε τον καθηγητή του R. J. Duffin, δείχνοντάς του ένα πρόβλημα που πίστευε ότι έλυσε. O καθηγητής έκπληκτος διαπίστωσε ότι ο νεαρός φοιτητής είχε αποδείξει, χωρίς να το ξέρει, το διάσημο θεώρημα του Brower, μια απόδειξη που όλοι οι μαθηματικές ιδιοφυΐες της εποχής θεωρούσαν αδύνατη. H συστατική επιστολή του καθηγητή προς το Princeton είχε μόνο μία αράδα: «Αυτός ο άνθρωπος είναι ιδιοφυΐα».
Το Princeton εκείνη την εποχή φιλοξενούσε τα μεγαλύτερα μυαλά της επιστήμης: Einstein, Gödel, Wiener, von Neumann κ.ά. O τελευταίος ήταν ο πατέρας της «Θεωρίας των Παιγνίων», μιας θεωρίας που προσπαθούσε να βγάλει μαθηματικούς κανόνες από τα παίγνια στρατηγικής. O Neumann όμως περιορίστηκε μόνο σε αντιτιθέμενους παίχτες που το κέρδος του ενός ήταν απώλεια του άλλου. H διατριβή του Nash επικεντρώθηκε σε παίκτες που υπήρχε η δυνατότητα του αμοιβαίου συμφέροντος. Έτσι, σε ηλικία 21 ετών, συμπλήρωσε τη «Θεωρία των παιγνίων» του John von Neumann, μία εργασία που αρκετά χρόνια μετά, το 1994, θα του χάριζε το Νόμπελ Οικονομικών. «O Nash έκανε την θεωρία των παιγνίων οικονομικό εργαλείο», δήλωσε αργότερα ο Νομπελίστας οικονομολόγος του MIT Robert Solow.
Όπως γράφει η Σύλβια Νασάρ στη βιογραφία του («A Beautiful Mind»), ο Νας ήταν «όμορφος, υπερόπτης και εκκεντρικός». Ιδιοφυής, αλλά συναισθηματικά ανώριμος. Πρωτοπόρος, αλλά κοινωνικά αδέξιος. Όσοι τον γνώριζαν τον περιγράφουν ως «απόμακρο», «απομονωμένο» και «αμέτοχο».
Σε ηλικία 22 ετών ήταν καθηγητής στο Princeton και στα 23 του δίδασκε στο MIT. Κάθε μαθηματική εργασία του άφηνε τους μαθηματικούς όλου του κόσμου με ανοιχτό το στόμα: «Όποτε παρουσίαζε κάποια εργασία», θυμάται ο καθηγητής του MIT Gian-Carlo Rota, «πάντα κάποιος από το ακροατήριο θα έλεγε ‘απίστευτο!’...»
Mετά από αυτό, ο νεαρός μαθηματικός ασχολήθηκε με πολλά προβλήματα των προχωρημένων μαθηματικών, που θεωρούνταν άλυτα Πάντα πρόσφερε μια αναπάντεχη λύση ανοίγοντας νέους δρόμους στη μαθηματική έρευνα. Είχε 8 παραγωγικά κι ευτυχισμένα χρόνια. Ήταν περιζήτητος από τα μεγαλύτερα πανεπιστήμια των HΠA, ενώ περιοδικά σαν το «Fortune» τον χαρακτήριζαν ως τη μεγαλύτερη ιδιοφυΐα της μεταπολεμικής εποχής.
Η ΑΣΘΕΝΕΙΑ ΤΟΥ
Το δράμα του ξεκίνησε το 1959, ενώ ήδη είχε παντρευτεί και η γυναίκα του περίμενε το πρώτο παιδί. Ο Νας, μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ιδιοφυΐες του αιώνα, άρχισε να εμφανίζει συμπτώματα σχιζοφρένειας. Οι διαλέξεις του άρχισαν να γίνονται παραληρηματικές χωρίς κανένα νόημα. Οι εργασίες του σταμάτησαν. Άκουγε φωνές. Κυκλοφορούσε στο ΜΙΤ, όπου επρόκειτο να γίνει μόνιμος καθηγητής, με ένα αντίτυπο των «New York Times» υπό μάλης κι εκμυστηρευόταν σε γνωστούς κι αγνώστους ότι ανάμεσα στα τυπογραφικά στοιχεία εξωγήινοι του έγραφαν κωδικοποιημένα μηνύματα, που μόνο αυτός μπορούσε να αποκωδικοποιήσει. Νόμιζε ότι θα γινόταν κυβερνήτης της Ανταρκτικής. Έβλεπε γύρω του συνωμοσίες. O ίδιος περιέγραψε την ασθένειά του σε μια μελέτη που έκανε για τη 10η παγκόσμια σύνοδο Ψυχιατρικής το 1996:
«... άρχισα να αισθάνομαι ότι το προσωπικό του MIT, και αργότερα ολόκληρη η Βοστόνη συμπεριφερόταν περίεργα απέναντί μου... Άρχισα να βλέπω κρυπτοκομμουνιστές παντού... Άρχισα να πιστεύω ότι είμαι σημαντική θρησκευτική προσωπικότητα κι άκουγα φωνές συνεχώς. Άρχισα να ακούω κάτι σαν τηλεφωνήματα, από ανθρώπους που αντετίθεντο στις ιδέες μου... Το delirium ήταν σαν ένα όνειρο από το οποίο έμοιαζε πως δεν θα ξυπνήσω ποτέ...».
Νοσηλεύτηκε αρκετές φορές (χωρίς τη θέλησή του) στη ψυχιατρική κλινική του Harvard και του χορηγήθηκαν πανίσχυρα φάρμακα χωρίς να βελτιώσουν την υγεία του. Οι γιατροί σηκώνουν τα χέρια: διαγιγνώσκουν σχιζοφρένεια, μία ασθένεια που κανείς δεν ξέρει από που προέρχεται και δεν έχει θεραπεία. Παραιτείται από το MIT και ξοδεύει το χρόνο του μεταξύ ψυχιατρικών κλινικών και του Princeton. Εκεί τριγυρίζει σαν φάντασμα. «Όλοι στο Princeton τον ήξεραν εξ όψεως», θυμάται ο Daniel D. Feenberg, φοιτητής τη δεκαετία του 1970 στο ίδιο πανεπιστήμιο. «Τα ρούχα του ήταν παράταιρα. Έμοιαζε άδειος. Πήγαινε να διαβάσει στην βιβλιοθήκη ή περπατούσε ανάμεσα στα κτίρια. Ήταν συνήθως σιωπηλός...»
Ενώ ο ίδιος ζούσε στον κόσμο του, ο κόσμος των οικονομικών και μαθηματικών επιστημών περιστρεφόταν γύρω από τις θεωρίες του. Σε κάθε πανεπιστημιακό αμφιθέατρο αναφερόταν «η ισορροπία Nash», «η διαπραγματευτική λύση Nash», «το πρόγραμμα Nash» κλπ. Πολλοί πίστευαν ότι είναι νεκρός. Όσοι ήξεραν το δράμα του προσπαθούσαν να τον βοηθήσουν. H γυναίκα του (αν και είχαν χωρίσει από καιρό) στεκόταν πάντα στο πλευρό του. Το Princeton του είχε δώσει την άδεια να χρησιμοποιεί τη βιβλιοθήκη και τους υπολογιστές του Ινστιτούτου. Συνάδελφοί του τον καλούσαν σε σεμινάρια. Όλα όμως έμοιαζαν μάταια! O Nash εμφανιζόταν κάθε πρωί στο Πανεπιστήμιο, αλλά ζούσε στον κόσμο του. Τις λίγες φορές που μιλούσε ήταν για να ζητιανέψει κανένα τσιγάρο ή μερικά ψιλά.
Η ΑΝΑΡΡΩΣΗ ΤΟΥ
Χρειάστηκαν περίπου 30 χρόνια για να δαμάσει τις σκέψεις του και το 1989 έγινε το θαύμα. Ο Νας κατάφερε να ξεπεράσει τη σχιζοφρένειά του μετά από 30 χρόνια. Φυσικά όταν λέμε ότι την ξεπέρασε, εννοούμε απλά ότι είναι από τις λίγες περιπτώσεις, μάλλον από τις ελάχιστες, που κατάφερε να ζήσει με τις παραισθήσεις του, συνειδητοποιώντας ότι πρόκειται για παραισθήσεις. Εν ολίγοις, στον εγκέφαλό του συζούν η λογική και η ψευδαίσθηση. Όπως είπε, «οι ορμονικές αλλαγές της γήρανσής» του τον βοήθησαν να αφυπνιστεί. Η ανάρρωσή του ήταν χρονοβόρα, αλλά και σπάνια. Λίγοι έχουν καταφέρει να αδράξουν ξανά την πραγματικότητα σαν τον Νας:
O Freeman Dyson, ένας από τους γίγαντες της θεωρητικής φυσικής του 20ου αιώνα, έβλεπε το Nash κάθε πρωί στο Ινστιτούτο. Του έλεγε μια τυπική καλημέρα, αλλά ποτέ δεν έπαιρνε απάντηση. Ένα πρωί αναπάντεχα ο Nash μίλησε: «Είδα την κόρη σου σήμερα πάλι στις ειδήσεις» (η Esther Dyson είναι συγγραφέας και θεωρητικός του κυβερνοχώρου). O μεγάλος φυσικός, που ποτέ δεν είχε ακούσει τη φωνή του Nash, θυμάται: «Δεν φανταζόμουν καν πως ήξερε την ύπαρξή της κόρης μου. Θυμάμαι πως έμεινα κατάπληκτος. Το ξύπνημά του ήταν θαυμάσιο!».
Το 1990 αρχίζει να ανταλλάσσει μηνύματα μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου με τον μαθηματικό Enrico Bombieri. Προς έκπληξη όλων, ο Nash ασχολείται πάλι με τα μαθηματικά! Καταπιάνεται με τα δύσκολα προβλήματα και κατά τον Bombieri «παρουσίαζε λύσεις που πάντα ήταν από διαφορετική γωνία».
O Nash λέει για την ασθένειά του: «...Τώρα μοιάζει να σκέφτομαι λογικά και πάλι με τη μορφή που είναι χαρακτηριστική στους επιστήμονες. Όμως αυτό δεν χαροποιεί, όπως θα χαροποιούσε κάποιον που βρήκε τη φυσική του υγεία. Μια πλευρά αυτού είναι ότι η λογικότητα της σκέψης βάζει όρια στη σχέση του ανθρώπου με τον κόσμο ... Δεν θα τολμούσα να πω ότι υπάρχει ευθεία σχέση μεταξύ μαθηματικών και τρέλας, αλλά δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι μεγάλοι μαθηματικοί υπέφεραν από μανιακά χαρακτηριστικά, ντελίριο και συμπτώματα σχιζοφρένειας...».
Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ
Ακολουθώντας τον Richard Feynman, θα λέγαμε ότι οι καλοί επιστήμονες πρέπει να ξέρουν 6-7 διαφορετικές μεθόδους επίλυσης του ίδιου προβλήματος. Σε πολλές περιπτώσεις, μία από αυτές είναι η «θεωρία παιγνίων». Πράγματι, είτε το θέλουμε είτε όχι, όλοι παίζουμε παιχνίδια και όχι μόνον τις μέρες των γιορτών. Στη ζωή μας αντιμετωπίζουμε συνεχώς καταστάσεις, όπου καλούμαστε να πάρουμε αποφάσεις που βασίζονται στη γνώση μας και στην προηγούμενη εμπειρία. H δυσκολία έγκειται στο ότι οι πληροφορίες μας είναι συχνά ελλιπείς ή περιορισμένες, οι καταστάσεις μεταβάλλονται και, το χειρότερο, υπάρχουν πολλοί άλλοι που προσπαθούν να κάνουν το ίδιο πράγμα.
Έτσι πολλές πλευρές της ζωής μας μπορεί να θεωρηθούν σαν ένα ανταγωνιστικό παιγνίδι, το οποίο προσπαθούμε επανειλημμένα να κερδίσουμε. Σε πολλές περιπτώσεις, είναι προτιμότερο να συνεργαστούμε, όπως για παράδειγμα στη δουλειά μας ή μέσα σε μια μεγαλύτερη ομάδα. H «θεωρία παιγνίων» παρέχει έναν τρόπο να χειριστούμε απλές μορφές τέτοιων παιχνιδιών: συνήθως στατικές (χωρίς επανάληψη) περιπτώσεις μ’ έναν περιορισμένο αριθμό παικτών, καθένας από τους οποίους έχει πρόσβαση στις ίδιες στρατηγικές.
H «θεωρία παιγνίων» ξεκίνησε ουσιαστικά το 1928, όταν ο ουγγρικής καταγωγής μεγάλος μαθηματικός John von Neumann δημοσίευσε το θεμελιώδες θεώρημα «μηδενικού αθροίσματος», στο οποίο η απώλεια ενός παίκτη είναι ίση με το κέρδος ενός δεύτερου. Στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τον ίδιο τον von Neumann σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern, όταν το 1944 δημοσίευσαν τη «Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά», για να μελετήσουν ανθρώπινες αλληλεπιδράσεις, όπου το καλύτερο που μπορεί να πετύχει κανείς εξαρτάται από το τι θα κάνει ο αντίπαλος.
Έκτοτε, η «θεωρία παιγνίων» εφαρμόστηκε σ’ ένα μεγάλο εύρος πεδίων (ιδιαίτερα όταν υπάρχουν δύο μείζονες «παίκτες»), που εκτείνεται από τις πολεμικές επιχειρήσεις, την πολιτική και την οικονομία ως τη βιολογία, την κοινωνική ψυχολογία και τη φιλοσοφία, χωρίς να παραλείπουμε τα διαδικτυακά παιχνίδια στον κυβερνοχώρο και τις συνέπειές τους. Και το ερώτημα που ανακύπτει είναι αν υπάρχει κάποια πιο θεμελιώδης σχέση ανάμεσα στη «θεωρία παιγνίων» και στη βασική επιστήμη.
H ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΛΟΓΕΣ
Στην κλασική «θεωρία παιγνίων» έχουμε ένα σύνολο παικτών και στρατηγικών, που υπαγορεύει τη δράση την οποία πρέπει να ακολουθήσει κάθε παίκτης και μια «συνάρτηση ανταπόδοσης» για κάθε επιλογή στρατηγικής. H ανταπόδοση παριστάνεται με μια αριθμητική τιμή. Σκοπός ενός παίκτη είναι βέβαια να βελτιστοποιήσει την ανταπόδοση γι’ αυτόν. Επειδή, όμως, και οποιοσδήποτε άλλος προσπαθεί να πετύχει τον ίδιο στόχο, το ερώτημα είναι πώς θα πρέπει να ενεργήσει κάθε παίκτης. Ένα μέγεθος, που θα προσδιόριζε το σκοπό ενός παίκτη, είναι η λεγόμενη «ισορροπία Nash», μια έννοια που οφείλεται στον νομπελίστα μαθηματικό και οικονομολόγο John Nash, η τυραννισμένη ζωή του οποίου αποτέλεσε το θέμα της γνωστής ταινίας «Ένας υπέροχος άνθρωπος».
Ο John Nash έδειξε ότι σε κάθε στατικό παιχνίδι μ’ ένα πεπερασμένο σύνολο στρατηγικών υπάρχει τουλάχιστον μία κατάσταση ισορροπίας, που αντιστοιχεί σε επιλογές στρατηγικής οι οποίες παρέχουν τη βέλτιστη ανταπόδοση και για τους δύο παίκτες: κανένας παίκτης δεν μπορεί να πετύχει κάτι καλύτερο αλλάζοντας τη στρατηγική του, τη στιγμή που η στρατηγική του άλλου παραμένει αμετάβλητη. H εργασία του Nash δεν δείχνει ωστόσο το πώς μπορεί κανείς να υπολογίσει μια τέτοια ισορροπία ούτε πόσες από αυτές υπάρχουν. Στην πραγματικότητα, ακόμη και απλά παιχνίδια έχουν μια πλειάδα «ισορροπιών Nash» και δεν υπάρχει τρόπος να ξεχωρίσει κανείς κάποια ιδιαίτερη. Μάλιστα, εκτός από το γεγονός ότι, αν και οι δύο παίκτες αποφασίσουν να μεγιστοποιήσουν την ανταπόδοσή τους, υπάρχει περίπτωση να καταλήξουν στο χειρότερο δυνατό αποτέλεσμα και για τους δύο, το πρόσθετο πρόβλημα είναι πως, ακόμη και αν διαλέξουν μια στρατηγική που αντιστοιχεί σε μια ισορροπία Nash, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι να απεμπολήσουν μια ευνοϊκότερη ανταπόδοση. Αυτό φαίνεται στο φημισμένο «δίλημμα του κρατούμενου».
Ας υποθέσουμε ότι δύο άνθρωποι έχουν συλληφθεί ως ύποπτοι για κάποια παράβαση που έκαναν από κοινού. Οι δύο ύποπτοι κρατούνται σε διαφορετικά δωμάτια για ανάκριση, χωρίς να είναι σε θέση να επικοινωνούν μεταξύ τους. Αν ο ένας εξ αυτών ομολογήσει, ενώ ο άλλος κρατήσει το στόμα του κλειστό, τότε αυτός που ομολόγησε θα αφεθεί ελεύθερος, ενώ ο άλλος που κράτησε το στόμα του κλειστό θα καταδικαστεί σε φυλάκιση τριών χρόνων. Αν και οι δύο ομολογήσουν (προδίδοντας έτσι ο ένας τον άλλον), τότε θα καταδικαστούν σε φυλάκιση δύο χρόνων ο καθένας. Αν, τέλος, και οι δύο κρατήσουν το στόμα τους κλειστό (ουσιαστικά συνεργαζόμενοι), τότε θα καταδικαστούν σε φυλάκιση ενός χρόνου ο καθένας. H ισορροπία Nash υπάρχει όταν και οι δύο ύποπτοι ομολογούν, αν και η περίπτωση που συνεργάζονται κρατώντας το στόμα τους κλειστό έχει καλύτερη ανταπόδοση για τον καθέναν τους.
H ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ
Επανερχόμενοι τώρα στο αρχικό ερώτημα, θα πρέπει πρώτα να σταθούμε στην εφαρμογή της «θεωρίας παιγνίων» στη βιολογία, δηλαδή στην εφαρμογή της «καλύτερης στρατηγικής» στο (συν)ανταγωνισμό ή στη συνεργασία μεταξύ παικτών σε επίπεδο ειδών ή μεμονωμένων ζώων. Αυτό έχει γίνει στις περιπτώσεις εκείνες όπου είναι δύσκολο να προβλέψει κανείς τα αποτελέσματα της φυσικής επιλογής, επειδή το καλύτερο που μπορεί να γίνει εξαρτάται από το τι κάνουν τα άλλα μέλη ενός πληθυσμού. Οι τεχνικές της θεωρίας παιγνίων χρησιμοποιήθηκαν πράγματι σε απλά μοντέλα «εξελικτικών παιχνιδιών» για να προσφέρουν μιαν εξήγηση για την εξέλιξη ορισμένων χαρακτηριστικών. Έτσι ο βρετανός βιολόγος John Maynard Smith διατύπωσε μια εξελικτική θεωρία παιγνίων, καταλήγοντας στην έννοια της «εξελικτικά ευσταθούς στρατηγικής» που, αν όλα σχεδόν τα μέλη ενός πληθυσμού υιοθετήσουν, καμία άλλη μεταλλαγμένη στρατηγική δεν μπορεί να αποδώσει καλύτερα έναντί της και να «απειλήσει» τον πληθυσμό.
Από την άλλη μεριά, κάποιοι είχαν ήδη υποθέσει ότι πιθανόν δεν χρειάζεται ένα τέλεια ορθολογικό ον για να αναγνωρίσει την καλύτερη στρατηγική και προσπάθησαν να εφαρμόσουν τη θεωρία σε μοντέλα θεμελιωδών μικροβιολογικών δομών. Το ενδιαφέρον είναι ότι ανακαλύφθηκε πως μικροσκοπικά μόρια RNA μπορεί πράγματι να εμπλακούν σε απλά παιχνίδια δύο παικτών. Αυτό, μεταξύ άλλων, παρακίνησε να εξεταστεί αν υπάρχει κάποια σύνδεση ανάμεσα στη θεωρία παιγνίων και το πιο θεμελιώδες επίπεδο βασικής επιστήμης, την κβαντική φυσική. Για παράδειγμα, αν ερμηνεύσουμε τις ανταποδόσεις ως ενεργειακά κέρδη, είναι δυνατόν να απεικονίσουμε το δίλημμα του κρατούμενου με όρους ενός απλού φυσικού μοντέλου δύο ηλεκτρονίων στις ηλεκτρονικές στοιβάδες ενός ατόμου. Ο Niels Bohr πίστευε ότι η ανακάλυψη της κβαντικής φυσικής σήμαινε κάτι παραπάνω από την ανακάλυψη των νόμων της μικροφυσικής, μια και βασικές πλευρές της κβαντικής μηχανικής (συμπληρωματικότητα, μη αντιμεταθετικότητα) θα μπορούσαν να εκδηλωθούν σε άλλους τομείς της επιστήμης. H ιδέα να συνδυαστεί η κβαντική μηχανική με τη θεωρία παιγνίων είναι κάτι που ξεκίνησε το 1999.
Την ίδια χρονιά τρεις γερμανοί φυσικοί πρότειναν την κβαντική εκδοχή του κλασικού παιχνιδιού του «διλήμματος του κρατούμενου». Κάνοντας χρήση τού χαρακτηριστικά αποκλειστικού γνωρίσματος της κβαντικής μηχανικής περί κβαντικά συσχετισμένων καταστάσεων, έδειξαν ότι σε ένα κβαντικό παιχνίδι η προκύπτουσα ανταπόδοση μπορεί να είναι υψηλότερη απ’ ό,τι σε ένα κλασικό παιχνίδι και κατέληξαν στο ότι η κβαντική εκδοχή του παιχνιδιού κατέχει μια μοναδική ισορροπία Nash, η οποία όμως ταυτόχρονα δίνει και τις μέγιστες δυνατές ανταποδόσεις (υπάρχει δηλαδή η λεγόμενη «βέλτιστη κατά Pareto ισορροπία», μια έννοια που επινοήθηκε από τον ιταλό οικονομολόγο Vilfredo Pareto). Προφανώς στο κβαντικό παιχνίδι οι παίκτες καταφέρνουν να λύσουν το δίλημμα! Δύο φτιάχνουν παρέα, τρεις αποτελούν πλήθος, όπως συνήθως λέγεται. Ήδη κλασικά συστήματα τριών σωματίων εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά. Και κβαντικά συστήματα πολλών σωματίων παρουσιάζουν ενδιαφέροντα πολύπλοκα φαινόμενα.
Αριθμητικές προσομοιώσεις που έγιναν σε επαναλαμβανόμενα κλασικά παιχνίδια έδειξαν ότι νέα φαινόμενα προκύπτουν στο όριο πολλών παικτών. Παράδειγμα είναι η κατάρρευση μιας χρηματιστηριακής αγοράς, που συμβαίνει όταν κάποιοι αποφασίσουν ξαφνικά να πουλήσουν τις μετοχές τους την ίδια χρονική στιγμή. H κβαντική εκδοχή ενός κλασικού παιχνιδιού πολλών παικτών εξακολουθεί να δείχνει ότι υπάρχει ανώτερο αποτέλεσμα από αυτό που μπορεί να επιτευχθεί κλασικά. Ουσιαστικά ο λόγος είναι ότι οι κβαντικές συσχετίσεις επιτρέπουν μεγαλύτερο αριθμό στρατηγικών ανάμεσα στις οποίες μπορεί κανείς να διαλέξει και, έτσι, χρειάζεται να ανταλλαγεί λιγότερη πληροφορία για να «παιχθεί» η κβαντική εκδοχή. Αυτό όμως αποτελεί εξιδανικευμένη περίπτωση. Όπως είναι ο κανόνας, το κβαντικό πλεονέκτημα χάνεται πάνω από μια κρίσιμη τιμή «περιβαλλοντικού θορύβου», που αναπόφευκτα συνοδεύει τα κανάλια επικοινωνίας και που τελικά κάνει τα κβαντικά παιχνίδια να μεταπίπτουν στη νομολογία της κλασικής θεωρίας παιγνίων.
ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ
H κβαντική θεωρία παιγνίων θα μπορούσε να συνδυαστεί με τη στατιστική μελέτη συστημάτων πολύ μεγάλου αριθμού σωματίων. Εκεί είναι γνωστό από συγκεκριμένα μοντέλα αλληλεπίδρασης των σωματίων, ότι κατά τις μετατροπές από μια φάση, όπως λέμε, σε μια άλλη, αρκούν πολύ μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες για να οδηγήσουν σε μεγάλες ποιοτικές αλλαγές στο αποτέλεσμα.
Στην κλασική θεωρία παιγνίων, από την άλλη μεριά, ένα δημοφιλές θέμα αποτελούν οι πολιτικές εκλογές. Αν υποθέσουμε μια κατ’ αντιστοιχία αλληλεπίδραση των πολλών ψηφοφόρων, μπορεί ένας υποψήφιος ή ένα κόμμα που ξεκινά με σχεδόν ίσους όρους με έναν αντίπαλο στο τέλος να κατισχύσει απλώς παίρνοντας την πρόσθετη υποστήριξη ενός μικρού τμήματος του πληθυσμού ή μιας μικρής περιοχής.
Στην ίδια κατεύθυνση, η ανταλλαγή και επεξεργασία της πληροφορίας που είδαμε στα κβαντικά παιχνίδια σημαίνει ότι πρέπει να υποβάλουμε το σύστημα σε μια διαδικασία μέτρησης. Και αυτό αναπόφευκτα το αλλάζει, καταστρέφοντας τις παλιές και δημιουργώντας νέες καταστάσεις. Με αυτή την έννοια έχει υποστηριχθεί η ιδέα ότι μια διαδικασία μέτρησης παριστάνει ένα παιχνίδι ενάντια στη φύση. Το ίδιο όμως μπορούμε να πούμε για μια δημοσκόπηση, ότι παριστάνει ένα παιχνίδι ενάντια στο εκλογικό σώμα.
Ομολογουμένως πολλές από τις παραπάνω θεωρήσεις βρίσκονται ακόμη σε ένα επίπεδο αδιευκρίνιστο. Και στον βαθμό που θα μπορούν στο μέλλον να ερευνηθούν και να διευκρινιστούν, ίσως θα χρειαστούν και οι υπόλοιπες πέντε ή έξι μέθοδοι που υπαινισσόταν ο Feynman για μια καλή κατανόηση. Προς το παρόν ας αρκεστούμε να φανταζόμαστε ότι πολλά πράγματα γύρω μας δεν φαίνεται παρά να αποτελούν ένα μεγάλο παιχνίδι.
ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΜΕ ΤΟΝ JOHN NASH
Το γραφείο του είναι πνιγμένο στη σκόνη. Χαρτιά σχηματίζουν λόφους, κούτες με βιβλία βυθίζονται στη μοκέτα και σε έναν μαυροπίνακα είναι γραμμένοι με κιμωλία μαθηματικοί τύποι τους οποίους δεν μπορώ να αναγνωρίσω. Μια ακαταστασία που δεν μαρτυρά τεμπελιά ή παραίτηση, αλλά δημιουργικότητα. Γιατί όταν το μυαλό παιδεύεται για λύσεις σε πολύπλοκα προβλήματα, δεν περισσεύει χρόνος για τα μικρά, τα καθημερινά, τα ανθρώπινα. Ο Τζον Νας κάθεται σε μια γαλάζια ξύλινη καρέκλα. Τα δάχτυλά του είναι μακριά και λεπτά, με μυτερά νύχια που λογικά δεν έχουν κοπεί εδώ και αρκετές βδομάδες. Φορά ένα πράσινο πουκάμισο και ένα λαδί παντελόνι που έχει ανεβάσει αρκετά πιο πάνω από τη μέση του. Με καλησπερίζει με δειλή φωνή και χαμογελά με παιδική αθωότητα. Μου μιλά ταξιδεύοντας σε συνειρμούς. Διακόπτει το λόγο του συχνά. Παύσεις αμήχανες. Κενά σιωπής και σκέψης. Δεν διστάζει να με κοιτάξει στα μάτια. Αλλά όχι για πολύ. Το βλέμμα του δραπετεύει μόλις συναντήσει το δικό μου...
Πριν από 30 χρόνια, ο Νας φοβόταν να κοιτάξει κάποιον στα μάτια, τα μπροστινά του δόντια σάπιζαν και στο Πρίνστον ήταν γνωστός ως «Φάντασμα». Μιλούσε σε λίγους. Ζητούσε τσιγάρα ή φωτιά και άφηνε στους πίνακες γρίφους και παράξενα μηνύματα. Κι όμως, αυτός ο άντρας με τα αταίριαστα ρούχα και τα κόκκινα μποτάκια, που στοίχειωνε το τμήμα των μαθηματικών, ήταν ένα από τα πιο λαμπρά μυαλά του κόσμου.
Σήμερα συνεχίζει τη μελέτη του. Ακούραστος, αειθαλής και πεισματάρης. Διψασμένος για ανακαλύψεις, όπως όταν προτιμούσε τη μοναξιά των πειραμάτων παρά το παιχνίδι με συνομηλίκους του στο Bluefield της Δ. Βιρτζίνια. Ταξιδεύει συχνά για ομιλίες σε πανεπιστήμια και συνέδρια. Πέρασε και από την Ελλάδα το 2000 και μίλησε για το «Ιδανικό Χρήμα». Θυμάται ακόμα αυτή την επίσκεψη. Ειδικά τώρα, που η οικονομική κρίση της χώρας μας κάνει το γύρο του κόσμου.
«Η ευρωζώνη μοιάζει με ένα πλοίο. Αν κατέβει η Ελλάδα από το πλοίο υπάρχει η πιθανότητα αυτό να ανοίξει τα πανιά του και να ταξιδέψει χωρίς προβλήματα. Αν όμως μείνει η Ελλάδα στο πλοίο, χωρίς να ελέγξει το χρέος της, τότε το ευρώ μπορεί να χάσει την αίγλη του», μου λέει. «Έχω δει σε μια γελοιογραφία τον πρωθυπουργό της χώρας σας να βρίσκεται σ’ ένα ερημονήσι και γύρω του να κολυμπούν οι καρχαρίες που συμβολίζουν το Διεθνές Νομισματικό Ταμείο. Αν προσφύγει σ’ αυτό η Ελλάδα, θα πρέπει να δανειστεί χρήματα με πολύ πιο αυστηρούς όρους. Πάντως η Ελλάδα δεν είναι τριτοκοσμική χώρα. Δεν υπέφερε ποτέ από τρομερή φτώχεια. Δεν είναι σαν την Αϊτή που έχει ανάγκη από φιλανθρωπία μετά το σεισμό».
Βραβευτήκατε με Νόμπελ για τη θεμελίωση της σύγχρονης Θεωρίας των Παιγνίων. Θεωρείτε όμως αυτή την πιο σπουδαία σας ανακάλυψη ή προσφορά;
«Η καλύτερη ανακάλυψή σου είναι αυτή που επηρεάζει περισσότερο τον κόσμο. Το δικό μου έργο είχε μεγαλύτερη επίδραση στη «Θεωρία των Παιγνίων» απ’ όσο στην αλγεβρική γεωμετρία, τη διαφορική γεωμετρία, ή άλλους κλάδους στους οποίους εργάστηκα. Δεν λέω ότι το έργο μου στη «Θεωρία των Παιγνίων» δεν είναι καλό. Πολλές φορές όμως ξαφνιάζεσαι όταν εκτιμάται η προσφορά σου σ’ ένα χώρο για κάτι που έκανες πριν από πολύ καιρό».
Υπάρχει κάποια ανακάλυψη την οποία ζηλεύετε και θα ευχόσασταν να είχατε πραγματοποιήσει εσείς;
«Πολλές… Ορισμένες έγιναν πριν από τη γέννησή μου, όπως η «Θεωρία της Σχετικότητας», ή η Κβαντομηχανική. Τα τελευταία χρόνια όμως φαίνεται ότι προχωράμε αργά. Δεν υπάρχουν πολλές σπουδαίες ανακαλύψεις».
Πού οφείλεται αυτό;
«Πάντα υπάρχουν περίοδοι στην ιστορία που οι πολιτισμοί χαλαρώνουν, μειώνουν την ταχύτητά τους. Σίγουρα το έχετε παρατηρήσει αυτό στην Ελλάδα. Υπάρχουν στιγμές που δεν έχουμε πρόοδο ή που πραγματοποιούμε βήματα προς τα πίσω. Ίσως διανύουμε μια αντίστοιχη περίοδο. Το μεγαλύτερο σημάδι είναι το χάσιμο χρόνου στη Γενεύη με τις καθυστερήσεις στη λειτουργία του Επιταχυντή Αδρονίων στο CERN».
Μιλώντας για άγονες περιόδους, για σχεδόν 30 χρόνια παλέψατε με τη σχιζοφρένεια.
«Δεν θα έλεγα ότι «πάλεψα». Δεν ήταν μια μάχη. Αν πάλευα την ασθένεια, τότε δεν θα υπέφερα από τα συμπτώματά της. Θα σκεφτόμουν λογικά. Δεν ήθελα όμως τότε να αποδεχτώ ότι ήμουν πνευματικά ασθενής. Εμείς, οι άνθρωποι, είμαστε σκλάβοι του Δημιουργού μας ή, αν θέλετε, ενός ευρύτερου σχεδίου που καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούμε. Κάθε μέρος του σώματός μας επιτελεί μια συγκεκριμένη, προδιαγεγραμμένη λειτουργία. Το ίδιο ισχύει και για το μυαλό μας».
Γράψατε σε ένα δοκίμιο ότι η «λογική σκέψη θέτει όρια στον τρόπο με τον οποίο ένα άτομο αντιλαμβάνεται τη θέση του στον κόσμο». Με το να δραπετεύει κανείς από τις παράλογες σκέψεις γίνεται πιο ταπεινός ή χάνει κάτι από την ιδιοφυΐα του;
«Σίγουρα κάποιος γίνεται πιο ταπεινός, όταν μεταβαίνει από την τρέλα στη λογική. Όταν άρχισα να έχω παράλογες ιδέες νόμιζα ότι είχα αφυπνιστεί. Είχα την εντύπωση ότι ανακάλυπτα πράγματα που αλλιώς δεν θα τα ήξερα. Αλλά στην ουσία δεν επρόκειτο για πραγματική αφύπνιση. Ήταν λάθη, ψευδαισθήσεις. Ο γιος μου που πάσχει από ψυχική ασθένεια γνωρίζει το πρόβλημά του, ωστόσο δεν θέλει να δουλέψει για να το επιλύσει. Είναι δύσκολο να αποδεχτείς ότι δεν μπορείς να είσαι ο αυτοκράτορας του δικού σου σύμπαντος. Πρέπει να ζήσεις μαζί με άλλους ανθρώπους και να συμβιβαστείς με τους κανόνες που θέτουν άλλοι και όχι εσύ. Ήμουν και εγώ για αρκετό καιρό ο αυτοκράτορας του δικού μου σύμπαντος».
Υπάρχει η αντίληψη ότι τα «όρια μεταξύ ιδιοφυΐας και τρέλας είναι λεπτά».
«Αυτή είναι μια επικίνδυνη κουβέντα. Είναι αλήθεια ότι πολλά λαμπρά μυαλά είχαν κάποια ανωμαλία, κάποια διαφορά. Ο Newton κι ο Einstein πιστεύεται ότι έπασχαν από το Σύνδρομο Asperger. Δεν ήταν τρελοί, αλλά αυτιστικοί. Είχαν προβλήματα με τις κοινωνικές τους σχέσεις, προτιμούσαν να μένουν μόνοι τους με συντροφιά τις σκέψεις τους. Είναι δύσκολο να είσαι διανοούμενος και να πρέπει την ίδια στιγμή να συναναστρέφεσαι με άλλους».
Άρα η διανόηση φέρνει μοναξιά.
«Οι στοχαστές πρέπει να αφιερώνουν χρόνο στον εαυτό τους για να σκεφτούν. Υπάρχουν μελέτες που δείχνουν ότι οι άνθρωποι πάσχουν πιο σπάνια από ψυχικές ασθένειες αν ζουν σε αγροτικές περιοχές σε σχέση με τους κατοίκους των πόλεων. Στην εξοχή έχεις για συντροφιά σου τα ζώα και τη φύση. Στην πόλη βρίσκεσαι σ’ ένα περιβάλλον πίεσης. Έχεις να αντιμετωπίσεις τους ανθρώπους και η πρόκληση είναι μεγαλύτερη».
Όταν ο Οδυσσέας επέστρεψε στην Ιθάκη, διαπίστωσε προς έκπληξή του ότι ο κόσμος είχε αλλάξει κατά την απουσία του. Όταν ολοκληρώθηκε το δικό σας ταξίδι μετά από 30 χρόνια, τι ήταν αυτό που είχατε χάσει;
«Είχα χάσει χρόνο. Συνήλθα από την ασθένεια και ήμουν 60 ετών. Δεν ήξερα τι θα συνέβαινε στη ζωή μου αν δεν αρρώσταινα. Ίσως και να μην παρήγαγα κάτι σπουδαίο. Μπορεί να ήμουν ένας απλός εργάτης. Είχα το φόβο ότι θα γινόμουν ένας σκλάβος που θα έκανε δουλειά ρουτίνας και δεν θα κέρδιζε αναγνώριση ή σεβασμό. Εκείνη την περίοδο το πρόβλημά μου ήταν ότι ήθελα να κάνω κάτι καινούριο, διαφορετικό, σπουδαίο. Ίσως στην προσπάθειά μου να ξεφύγω από τη ρουτίνα, επιβάρυνα ψυχολογικά τον εαυτό μου και αυτό οδήγησε στην ασθένεια. Είναι μια πιθανότητα που δεν αποκλείω».
ΕΝΑ ΝΕΑΝΙΚΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ
Ο Τζον Νας θέλει να κρατάει τον εαυτό του απασχολημένο. Έχει να διδάξει φοιτητές εδώ και πολλά χρόνια, αλλά πηγαίνει τακτικά στο γραφείο του στο «Fine Hall», τον πύργο του τμήματος μαθηματικών και φυσικής στο Princeton. Το 1994 τιμήθηκε με το Νόμπελ Οικονομικών για τη συμβολή του στη Θεωρία των Παιγνίων. Εισήγαγε την έννοια των στρατηγικών ισορροπίας στη θεωρία που είχαν αναπτύξει οι John von Neumann και Oscar Morgenstern. Σύμφωνα με τον Νας σε κάθε παιχνίδι υπάρχει τουλάχιστον μία κατάσταση ισορροπίας που αντιστοιχεί σε επιλογές στρατηγικής που παρέχουν τη βέλτιστη ανταπόδοση για δύο ή περισσότερους παίκτες.
Φανταστείτε το παράδειγμα που εμπνεύστηκε ο σεναριογράφος της ταινίας «Ένας υπέροχος άνθρωπος» («A Beautiful Mind»). Πέντε κοπέλες, μια ξανθιά και τέσσερις μελαχρινές μπαίνουν σε ένα μπαρ. Τέσσερις άντρες που τις βλέπουν γοητεύονται από τη ξανθιά. Αν όμως προσπαθήσουν όλοι να την κατακτήσουν θα ακυρώσουν τις προσπάθειές τους. Έπειτα θα στραφούν στις μελαχρινές, αλλά αυτές θα τους απορρίψουν, γιατί καμιά γυναίκα δε θέλει να έρχεται δεύτερη. Η μόνη λύση να κερδίσουν κάτι είναι να δοκιμάσει ο καθένας να ρίξει μια μελαχρινή. Μπορεί έτσι να μην κατακτήσουν την ξανθιά, αλλά τουλάχιστον δεν θα μείνουν με άδεια χέρια.
Οι έννοιες της Ισορροπίας και της Διαπραγμάτευσης που εισήγαγε ο Νας εφαρμόζονται σήμερα στη βιολογία, την πολιτική επιστήμη, την οικονομία, τις διεθνείς σχέσεις. Ο Νας όμως εξακολουθεί να δουλεύει πάνω στη «Θεωρία των Παιγνίων». «Προσπαθώ να αναπτύξω μια θεωρία που να εξηγεί πώς προκύπτει η αξιολόγηση για το κέρδος κάθε παίκτη. Έχω μια ιδέα αλλά χρειάζεται δουλειά. Πρέπει να ανακαλύψω τις ατέλειές της», μου λέει.
Οι συνάδελφοί σας λένε ότι τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι για νεαρά μυαλά.
«Χρησιμοποιώ τα μαθηματικά, αλλά δεν προσπαθώ να λύσω γρίφους που έχουν άμεση σχέση με αυτά. Δεν είμαι όμως απλά ένας γερασμένος μαθηματικός. Για πολλά χρόνια έλειπα. Δεν είχα επαφή με την επιστήμη λόγω της ασθένειας. Ίσως όμως κάποιος θα μπορούσε να πει ότι τα χρόνια της απουσίας μου με κάνουν πνευματικά νεώτερο. Το σίγουρο είναι ότι δε βρίσκομαι σε ηλικία συνταξιοδότησης. Δεν έχω συμπληρώσει τα απαραίτητα χρόνια. Ίσως βγω στη σύνταξη όταν φτάσω τα 100».
Αντιμετωπίζετε τα προβλήματα στην προσωπική σας ζωή με τον ίδιο τρόπο που λύνετε ένα πρόβλημα μαθηματικών;
«Η λογική δεν υπάρχει μόνο στα μαθηματικά. Υπάρχει στη φυσική, τη χημεία, τη νομική και άλλες επιστήμες. Στο παρελθόν σκέφτηκα να αντιμετωπίσω καταστάσεις στην προσωπική μου ζωή εφαρμόζοντας τη «Θεωρία των Παιγνίων». Όμως αντιλήφθηκα ότι αυτό θα ήταν λάθος. Η ανθρώπινη συμπεριφορά δεν βασίζεται πάντα μόνο στη λογική. Υπάρχει το συναίσθημα και το ένστικτο».
Κάθε πρόβλημα έχει τη λύση του;
«Αυτό είναι ένα φιλοσοφικό ερώτημα. Υπάρχουν στιγμές που νομίζουμε ότι για ορισμένα προβλήματα μόνο ο Θεός έχει την απάντηση. Για παράδειγμα, στα μαθηματικά, μένει ακόμα άλυτο ένα πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών, σύμφωνα με το οποίο κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών (πρόκειται για την άλυτη εικασία που διατύπωσε ο Christian Goldbach, το 1742). Μπορεί να ταξιδεύουμε στο διάστημα και να κάνουμε εκπληκτικά πράγματα, όμως ακόμα δεν έχουμε καταφέρει να αποδείξουμε αυτή τη θεωρία».
Η κατάκτηση της γνώσης μάς κάνει πιο χαρούμενους ή πιο δυστυχείς;
«Ίσως θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε την ευεργετική δράση της άγνοιας αν ζούσαμε σ’ έναν παράδεισο, σ’ έναν Κήπο της Εδέμ. Δεν θα τρώγαμε από το δέντρο της γνώσης και έτσι δεν θα ανακαλύπταμε τη φθορά. Θα κερδίζαμε την αθανασία».
Είναι ο θάνατος ένας από τους φόβους σας;
«Η θνητότητα είναι κάτι το αναπόφευκτο. Επομένως, δεν είναι φυσιολογικό να τη φοβάσαι. Σίγουρα παίζει ρόλο σε αυτό και η ηλικία. Ένας νέος άνθρωπος νιώθει άτρωτος, αθάνατος. Αργότερα όμως διαπιστώνει πόσο τον φθείρει ο χρόνος, πως οδηγείται στο θάνατο. Έχω μάθει να ζω τώρα μέρα με τη μέρα. Έχω ελπίδες και επιδιώξεις, αλλά δεν κάνω μεγάλα όνειρα. Θέλω να συνεχίσω το έργο και να προσφέρω μέχρι εκεί που μπορώ».
Περιοδικό «Ταχυδρόμος» (7 Απριλίου 2010)
ΠΗΓΕΣ
1. www.mathlaboratory.gr,
2. www.en.wikipedia.org,
3. www.mathsforyou.gr,
4. www.princeton.edu,
5. www.ask.com,
6. www.press.princeton.edu,
7. www.math.princeton.edu,
8. www.pbs.org
9. www.el.wikipedia.org
Οι πιο πολλοί από εσάς έχετε σίγουρα δει την ταινία του 2001, «Ένας υπέροχος άνθρωπος» («A Beautiful Mind»), όπου πρωταγωνιστεί ο Rassell Crowe και στην οποία ενσαρκώνει τον χαρακτήρα του John Nash, ενός μεγαλοφυούς επιστήμονα, που πάσχει από σχιζοφρένεια, την οποία αποδέχεται πλήρως και μαθαίνει να ζει μεταξύ λογικής και παραλόγου, αφήνοντας στην ουσία τις παραισθήσεις να «παίζουν» στο παρασκήνιο της καθημερινότητάς του. Η ιστορία, λοιπόν, αυτή δεν είναι καθόλου αποκύημα της φαντασίας κάποιων ανθρώπων. Ο John Nash υπάρχει και η σύγχρονη οικονομική θεωρία έχει πάρει πολλές ιδέες κι αρχές από αυτές που πρώτος ο Nash σκέφτηκε με το ομολογουμένως «παράξενο» μυαλό του. Ας δούμε όμως την ιστορία αυτού του εξαιρετικά ενδιαφέροντα ανθρώπου, που η ιστορία του ξεκίνησε από μια μικρή πόλη της Δ. Βιρτζίνια, από μια μεσοαστική οικογένεια.
 |
| Από την ταινία «Ένας υπέροχος άνθρωπος» (Rassell Crowe ) |
Ο Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash Jr.) είναι ένας Αμερικανός μαθηματικός και οικονομολόγος, που γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου του 1928 στο σανατόριο της πόλης Bluefield, στη Δ. Βιρτζίνια. Ο πατέρας του ήταν πτυχιούχος στην εφαρμοσμένη ηλεκτρική μηχανική και παλιότερα είχε πολέμησε στον Β’ Παγκόσμιο πόλεμο σαν υπολοχαγός στις υπηρεσίες ανεφοδιασμού στο μέτωπο της Γαλλίας. Η μητέρα του Margaret Virginia Martin είχε γεννηθεί στο Bluefιeld, σπούδασε στο πανεπιστήμιο της Δ. Βιρτζίνια, και πριν από το γάμο της εργάστηκε σαν δασκάλα αγγλικής γλώσσας, αλλά και της λατινικής. Κατά τη διάρκεια της ζωής της υπέστη μερική απώλεια ακοής εξαιτίας μια παλιότερης αρρώστιας που της προκάλεσε ψηλό πυρετό. Και οι δυο γονείς του ήρθαν στο Bluefield από την δυτική Β. Καρολίνα. Επίσης είχε και μια αδερφή, δυόμισι χρόνια μικρότερη, τη Martha.
Ο John Nash από μικρό παιδί είχε στη διάθεσή του έναν ατέλειωτο πλούτο γνώσεων που προερχόταν από τον μεγάλο όγκο από εγκυκλοπαίδειες κι άλλα βιβλία που βρίσκονταν στα ράφια της μεγάλης βιβλιοθήκης του σπιτιού του. Όπως περιέγραφε αργότερα η δασκάλα του, ο John Nash έδειχνε να ξεχωρίζει από τα άλλα παιδιά του σχολείου του, χωρίς να είναι ένας άριστος μαθητής. Διάβαζε, όμως, χωρίς τελειωμό, έπαιζε σκάκι, περπατούσε και μπορούσε να σφυρίζει ολόκληρες συμφωνίες του Μπαχ, αλλά το πιο σημαντικό απ’ όλα ήταν μια μοναδική ανεξήγητη ικανότητα που είχε, να αναζητά διαρκώς νέους τρόπους προσέγγισης των πραγμάτων.
ΣΤΟ PRINCETON
Στο πανεπιστήμιο άρχισε να φαίνεται η ιδιοφυΐα του. Το 1947, λίγους μόλις μήνες μετά τον ερχομό του στο Πρίνστον, σε ηλικία 19 ετών, πλησίασε τον καθηγητή του R. J. Duffin, δείχνοντάς του ένα πρόβλημα που πίστευε ότι έλυσε. O καθηγητής έκπληκτος διαπίστωσε ότι ο νεαρός φοιτητής είχε αποδείξει, χωρίς να το ξέρει, το διάσημο θεώρημα του Brower, μια απόδειξη που όλοι οι μαθηματικές ιδιοφυΐες της εποχής θεωρούσαν αδύνατη. H συστατική επιστολή του καθηγητή προς το Princeton είχε μόνο μία αράδα: «Αυτός ο άνθρωπος είναι ιδιοφυΐα».
Το Princeton εκείνη την εποχή φιλοξενούσε τα μεγαλύτερα μυαλά της επιστήμης: Einstein, Gödel, Wiener, von Neumann κ.ά. O τελευταίος ήταν ο πατέρας της «Θεωρίας των Παιγνίων», μιας θεωρίας που προσπαθούσε να βγάλει μαθηματικούς κανόνες από τα παίγνια στρατηγικής. O Neumann όμως περιορίστηκε μόνο σε αντιτιθέμενους παίχτες που το κέρδος του ενός ήταν απώλεια του άλλου. H διατριβή του Nash επικεντρώθηκε σε παίκτες που υπήρχε η δυνατότητα του αμοιβαίου συμφέροντος. Έτσι, σε ηλικία 21 ετών, συμπλήρωσε τη «Θεωρία των παιγνίων» του John von Neumann, μία εργασία που αρκετά χρόνια μετά, το 1994, θα του χάριζε το Νόμπελ Οικονομικών. «O Nash έκανε την θεωρία των παιγνίων οικονομικό εργαλείο», δήλωσε αργότερα ο Νομπελίστας οικονομολόγος του MIT Robert Solow.
Όπως γράφει η Σύλβια Νασάρ στη βιογραφία του («A Beautiful Mind»), ο Νας ήταν «όμορφος, υπερόπτης και εκκεντρικός». Ιδιοφυής, αλλά συναισθηματικά ανώριμος. Πρωτοπόρος, αλλά κοινωνικά αδέξιος. Όσοι τον γνώριζαν τον περιγράφουν ως «απόμακρο», «απομονωμένο» και «αμέτοχο».
Σε ηλικία 22 ετών ήταν καθηγητής στο Princeton και στα 23 του δίδασκε στο MIT. Κάθε μαθηματική εργασία του άφηνε τους μαθηματικούς όλου του κόσμου με ανοιχτό το στόμα: «Όποτε παρουσίαζε κάποια εργασία», θυμάται ο καθηγητής του MIT Gian-Carlo Rota, «πάντα κάποιος από το ακροατήριο θα έλεγε ‘απίστευτο!’...»
Mετά από αυτό, ο νεαρός μαθηματικός ασχολήθηκε με πολλά προβλήματα των προχωρημένων μαθηματικών, που θεωρούνταν άλυτα Πάντα πρόσφερε μια αναπάντεχη λύση ανοίγοντας νέους δρόμους στη μαθηματική έρευνα. Είχε 8 παραγωγικά κι ευτυχισμένα χρόνια. Ήταν περιζήτητος από τα μεγαλύτερα πανεπιστήμια των HΠA, ενώ περιοδικά σαν το «Fortune» τον χαρακτήριζαν ως τη μεγαλύτερη ιδιοφυΐα της μεταπολεμικής εποχής.
Το δράμα του ξεκίνησε το 1959, ενώ ήδη είχε παντρευτεί και η γυναίκα του περίμενε το πρώτο παιδί. Ο Νας, μια από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ιδιοφυΐες του αιώνα, άρχισε να εμφανίζει συμπτώματα σχιζοφρένειας. Οι διαλέξεις του άρχισαν να γίνονται παραληρηματικές χωρίς κανένα νόημα. Οι εργασίες του σταμάτησαν. Άκουγε φωνές. Κυκλοφορούσε στο ΜΙΤ, όπου επρόκειτο να γίνει μόνιμος καθηγητής, με ένα αντίτυπο των «New York Times» υπό μάλης κι εκμυστηρευόταν σε γνωστούς κι αγνώστους ότι ανάμεσα στα τυπογραφικά στοιχεία εξωγήινοι του έγραφαν κωδικοποιημένα μηνύματα, που μόνο αυτός μπορούσε να αποκωδικοποιήσει. Νόμιζε ότι θα γινόταν κυβερνήτης της Ανταρκτικής. Έβλεπε γύρω του συνωμοσίες. O ίδιος περιέγραψε την ασθένειά του σε μια μελέτη που έκανε για τη 10η παγκόσμια σύνοδο Ψυχιατρικής το 1996:
«... άρχισα να αισθάνομαι ότι το προσωπικό του MIT, και αργότερα ολόκληρη η Βοστόνη συμπεριφερόταν περίεργα απέναντί μου... Άρχισα να βλέπω κρυπτοκομμουνιστές παντού... Άρχισα να πιστεύω ότι είμαι σημαντική θρησκευτική προσωπικότητα κι άκουγα φωνές συνεχώς. Άρχισα να ακούω κάτι σαν τηλεφωνήματα, από ανθρώπους που αντετίθεντο στις ιδέες μου... Το delirium ήταν σαν ένα όνειρο από το οποίο έμοιαζε πως δεν θα ξυπνήσω ποτέ...».
Νοσηλεύτηκε αρκετές φορές (χωρίς τη θέλησή του) στη ψυχιατρική κλινική του Harvard και του χορηγήθηκαν πανίσχυρα φάρμακα χωρίς να βελτιώσουν την υγεία του. Οι γιατροί σηκώνουν τα χέρια: διαγιγνώσκουν σχιζοφρένεια, μία ασθένεια που κανείς δεν ξέρει από που προέρχεται και δεν έχει θεραπεία. Παραιτείται από το MIT και ξοδεύει το χρόνο του μεταξύ ψυχιατρικών κλινικών και του Princeton. Εκεί τριγυρίζει σαν φάντασμα. «Όλοι στο Princeton τον ήξεραν εξ όψεως», θυμάται ο Daniel D. Feenberg, φοιτητής τη δεκαετία του 1970 στο ίδιο πανεπιστήμιο. «Τα ρούχα του ήταν παράταιρα. Έμοιαζε άδειος. Πήγαινε να διαβάσει στην βιβλιοθήκη ή περπατούσε ανάμεσα στα κτίρια. Ήταν συνήθως σιωπηλός...»
Ενώ ο ίδιος ζούσε στον κόσμο του, ο κόσμος των οικονομικών και μαθηματικών επιστημών περιστρεφόταν γύρω από τις θεωρίες του. Σε κάθε πανεπιστημιακό αμφιθέατρο αναφερόταν «η ισορροπία Nash», «η διαπραγματευτική λύση Nash», «το πρόγραμμα Nash» κλπ. Πολλοί πίστευαν ότι είναι νεκρός. Όσοι ήξεραν το δράμα του προσπαθούσαν να τον βοηθήσουν. H γυναίκα του (αν και είχαν χωρίσει από καιρό) στεκόταν πάντα στο πλευρό του. Το Princeton του είχε δώσει την άδεια να χρησιμοποιεί τη βιβλιοθήκη και τους υπολογιστές του Ινστιτούτου. Συνάδελφοί του τον καλούσαν σε σεμινάρια. Όλα όμως έμοιαζαν μάταια! O Nash εμφανιζόταν κάθε πρωί στο Πανεπιστήμιο, αλλά ζούσε στον κόσμο του. Τις λίγες φορές που μιλούσε ήταν για να ζητιανέψει κανένα τσιγάρο ή μερικά ψιλά.
 |
| Από την ταινία «Ένας υπέροχος άνθρωπος» (Rassell Crowe ) |
Χρειάστηκαν περίπου 30 χρόνια για να δαμάσει τις σκέψεις του και το 1989 έγινε το θαύμα. Ο Νας κατάφερε να ξεπεράσει τη σχιζοφρένειά του μετά από 30 χρόνια. Φυσικά όταν λέμε ότι την ξεπέρασε, εννοούμε απλά ότι είναι από τις λίγες περιπτώσεις, μάλλον από τις ελάχιστες, που κατάφερε να ζήσει με τις παραισθήσεις του, συνειδητοποιώντας ότι πρόκειται για παραισθήσεις. Εν ολίγοις, στον εγκέφαλό του συζούν η λογική και η ψευδαίσθηση. Όπως είπε, «οι ορμονικές αλλαγές της γήρανσής» του τον βοήθησαν να αφυπνιστεί. Η ανάρρωσή του ήταν χρονοβόρα, αλλά και σπάνια. Λίγοι έχουν καταφέρει να αδράξουν ξανά την πραγματικότητα σαν τον Νας:
O Freeman Dyson, ένας από τους γίγαντες της θεωρητικής φυσικής του 20ου αιώνα, έβλεπε το Nash κάθε πρωί στο Ινστιτούτο. Του έλεγε μια τυπική καλημέρα, αλλά ποτέ δεν έπαιρνε απάντηση. Ένα πρωί αναπάντεχα ο Nash μίλησε: «Είδα την κόρη σου σήμερα πάλι στις ειδήσεις» (η Esther Dyson είναι συγγραφέας και θεωρητικός του κυβερνοχώρου). O μεγάλος φυσικός, που ποτέ δεν είχε ακούσει τη φωνή του Nash, θυμάται: «Δεν φανταζόμουν καν πως ήξερε την ύπαρξή της κόρης μου. Θυμάμαι πως έμεινα κατάπληκτος. Το ξύπνημά του ήταν θαυμάσιο!».
Το 1990 αρχίζει να ανταλλάσσει μηνύματα μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου με τον μαθηματικό Enrico Bombieri. Προς έκπληξη όλων, ο Nash ασχολείται πάλι με τα μαθηματικά! Καταπιάνεται με τα δύσκολα προβλήματα και κατά τον Bombieri «παρουσίαζε λύσεις που πάντα ήταν από διαφορετική γωνία».
O Nash λέει για την ασθένειά του: «...Τώρα μοιάζει να σκέφτομαι λογικά και πάλι με τη μορφή που είναι χαρακτηριστική στους επιστήμονες. Όμως αυτό δεν χαροποιεί, όπως θα χαροποιούσε κάποιον που βρήκε τη φυσική του υγεία. Μια πλευρά αυτού είναι ότι η λογικότητα της σκέψης βάζει όρια στη σχέση του ανθρώπου με τον κόσμο ... Δεν θα τολμούσα να πω ότι υπάρχει ευθεία σχέση μεταξύ μαθηματικών και τρέλας, αλλά δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι μεγάλοι μαθηματικοί υπέφεραν από μανιακά χαρακτηριστικά, ντελίριο και συμπτώματα σχιζοφρένειας...».
Σιγά - σιγά ο Nash άρχισε να συμμετέχει σε σεμινάρια μαθηματικών. Σπάνια μιλούσε, αλλά όλα έδειχναν πως είναι καλά. Τον Οκτώβριο του 1994, στο τέλος μιας τέτοιας συνάντησης, ο μαθηματικός Harold Kuhn συναντά τον Nash. O Kuhn είναι 50 χρόνια τώρα ο καλύτερός του φίλος. Του μιλάει αργά και προσεκτικά: «John, το απόγευμα θα σου τηλεφωνήσουν από την Στοκχόλμη». O Nash, όπως έκανε πάντα, κοίταζε μπροστά το πάτωμα. «Θα σου πουν John, ότι κέρδισες το βραβείο Νόμπελ...».
Η ΒΡΑΒΕΥΣΗ ΤΟΥ
Τιμήθηκε το 1994 με το Νόμπελ Οικονομικών, μαζί με τους Ρ. Ζέλτεν και Τζ. Χαρσάνυι, για τη συμβολή του στη θεωρία παιγνίων. Συγκεκριμένα, δημιούργησε την έννοια της ισορροπίας για παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος, ισορροπία που πήρε το όνομά του ως «ισορροπία Νας». Η έννοια της ισορροπίας κατά Νας είναι πολύ σπουδαία, ιδιαίτερα στις μέρες μας, και έχει ευρύτατες εφαρμογές σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, αλλά και σε φυσικά συστήματα, όπως η Βιολογία. O Nash σήμερα είναι 83 ετών και ζει στο Princeton των ΗΠΑ.
Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ
Ακολουθώντας τον Richard Feynman, θα λέγαμε ότι οι καλοί επιστήμονες πρέπει να ξέρουν 6-7 διαφορετικές μεθόδους επίλυσης του ίδιου προβλήματος. Σε πολλές περιπτώσεις, μία από αυτές είναι η «θεωρία παιγνίων». Πράγματι, είτε το θέλουμε είτε όχι, όλοι παίζουμε παιχνίδια και όχι μόνον τις μέρες των γιορτών. Στη ζωή μας αντιμετωπίζουμε συνεχώς καταστάσεις, όπου καλούμαστε να πάρουμε αποφάσεις που βασίζονται στη γνώση μας και στην προηγούμενη εμπειρία. H δυσκολία έγκειται στο ότι οι πληροφορίες μας είναι συχνά ελλιπείς ή περιορισμένες, οι καταστάσεις μεταβάλλονται και, το χειρότερο, υπάρχουν πολλοί άλλοι που προσπαθούν να κάνουν το ίδιο πράγμα.
Έτσι πολλές πλευρές της ζωής μας μπορεί να θεωρηθούν σαν ένα ανταγωνιστικό παιγνίδι, το οποίο προσπαθούμε επανειλημμένα να κερδίσουμε. Σε πολλές περιπτώσεις, είναι προτιμότερο να συνεργαστούμε, όπως για παράδειγμα στη δουλειά μας ή μέσα σε μια μεγαλύτερη ομάδα. H «θεωρία παιγνίων» παρέχει έναν τρόπο να χειριστούμε απλές μορφές τέτοιων παιχνιδιών: συνήθως στατικές (χωρίς επανάληψη) περιπτώσεις μ’ έναν περιορισμένο αριθμό παικτών, καθένας από τους οποίους έχει πρόσβαση στις ίδιες στρατηγικές.
H «θεωρία παιγνίων» ξεκίνησε ουσιαστικά το 1928, όταν ο ουγγρικής καταγωγής μεγάλος μαθηματικός John von Neumann δημοσίευσε το θεμελιώδες θεώρημα «μηδενικού αθροίσματος», στο οποίο η απώλεια ενός παίκτη είναι ίση με το κέρδος ενός δεύτερου. Στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τον ίδιο τον von Neumann σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern, όταν το 1944 δημοσίευσαν τη «Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά», για να μελετήσουν ανθρώπινες αλληλεπιδράσεις, όπου το καλύτερο που μπορεί να πετύχει κανείς εξαρτάται από το τι θα κάνει ο αντίπαλος.
Έκτοτε, η «θεωρία παιγνίων» εφαρμόστηκε σ’ ένα μεγάλο εύρος πεδίων (ιδιαίτερα όταν υπάρχουν δύο μείζονες «παίκτες»), που εκτείνεται από τις πολεμικές επιχειρήσεις, την πολιτική και την οικονομία ως τη βιολογία, την κοινωνική ψυχολογία και τη φιλοσοφία, χωρίς να παραλείπουμε τα διαδικτυακά παιχνίδια στον κυβερνοχώρο και τις συνέπειές τους. Και το ερώτημα που ανακύπτει είναι αν υπάρχει κάποια πιο θεμελιώδης σχέση ανάμεσα στη «θεωρία παιγνίων» και στη βασική επιστήμη.
H ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΛΟΓΕΣ
Στην κλασική «θεωρία παιγνίων» έχουμε ένα σύνολο παικτών και στρατηγικών, που υπαγορεύει τη δράση την οποία πρέπει να ακολουθήσει κάθε παίκτης και μια «συνάρτηση ανταπόδοσης» για κάθε επιλογή στρατηγικής. H ανταπόδοση παριστάνεται με μια αριθμητική τιμή. Σκοπός ενός παίκτη είναι βέβαια να βελτιστοποιήσει την ανταπόδοση γι’ αυτόν. Επειδή, όμως, και οποιοσδήποτε άλλος προσπαθεί να πετύχει τον ίδιο στόχο, το ερώτημα είναι πώς θα πρέπει να ενεργήσει κάθε παίκτης. Ένα μέγεθος, που θα προσδιόριζε το σκοπό ενός παίκτη, είναι η λεγόμενη «ισορροπία Nash», μια έννοια που οφείλεται στον νομπελίστα μαθηματικό και οικονομολόγο John Nash, η τυραννισμένη ζωή του οποίου αποτέλεσε το θέμα της γνωστής ταινίας «Ένας υπέροχος άνθρωπος».
Ο John Nash έδειξε ότι σε κάθε στατικό παιχνίδι μ’ ένα πεπερασμένο σύνολο στρατηγικών υπάρχει τουλάχιστον μία κατάσταση ισορροπίας, που αντιστοιχεί σε επιλογές στρατηγικής οι οποίες παρέχουν τη βέλτιστη ανταπόδοση και για τους δύο παίκτες: κανένας παίκτης δεν μπορεί να πετύχει κάτι καλύτερο αλλάζοντας τη στρατηγική του, τη στιγμή που η στρατηγική του άλλου παραμένει αμετάβλητη. H εργασία του Nash δεν δείχνει ωστόσο το πώς μπορεί κανείς να υπολογίσει μια τέτοια ισορροπία ούτε πόσες από αυτές υπάρχουν. Στην πραγματικότητα, ακόμη και απλά παιχνίδια έχουν μια πλειάδα «ισορροπιών Nash» και δεν υπάρχει τρόπος να ξεχωρίσει κανείς κάποια ιδιαίτερη. Μάλιστα, εκτός από το γεγονός ότι, αν και οι δύο παίκτες αποφασίσουν να μεγιστοποιήσουν την ανταπόδοσή τους, υπάρχει περίπτωση να καταλήξουν στο χειρότερο δυνατό αποτέλεσμα και για τους δύο, το πρόσθετο πρόβλημα είναι πως, ακόμη και αν διαλέξουν μια στρατηγική που αντιστοιχεί σε μια ισορροπία Nash, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι να απεμπολήσουν μια ευνοϊκότερη ανταπόδοση. Αυτό φαίνεται στο φημισμένο «δίλημμα του κρατούμενου».
Ας υποθέσουμε ότι δύο άνθρωποι έχουν συλληφθεί ως ύποπτοι για κάποια παράβαση που έκαναν από κοινού. Οι δύο ύποπτοι κρατούνται σε διαφορετικά δωμάτια για ανάκριση, χωρίς να είναι σε θέση να επικοινωνούν μεταξύ τους. Αν ο ένας εξ αυτών ομολογήσει, ενώ ο άλλος κρατήσει το στόμα του κλειστό, τότε αυτός που ομολόγησε θα αφεθεί ελεύθερος, ενώ ο άλλος που κράτησε το στόμα του κλειστό θα καταδικαστεί σε φυλάκιση τριών χρόνων. Αν και οι δύο ομολογήσουν (προδίδοντας έτσι ο ένας τον άλλον), τότε θα καταδικαστούν σε φυλάκιση δύο χρόνων ο καθένας. Αν, τέλος, και οι δύο κρατήσουν το στόμα τους κλειστό (ουσιαστικά συνεργαζόμενοι), τότε θα καταδικαστούν σε φυλάκιση ενός χρόνου ο καθένας. H ισορροπία Nash υπάρχει όταν και οι δύο ύποπτοι ομολογούν, αν και η περίπτωση που συνεργάζονται κρατώντας το στόμα τους κλειστό έχει καλύτερη ανταπόδοση για τον καθέναν τους.
H ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ
Επανερχόμενοι τώρα στο αρχικό ερώτημα, θα πρέπει πρώτα να σταθούμε στην εφαρμογή της «θεωρίας παιγνίων» στη βιολογία, δηλαδή στην εφαρμογή της «καλύτερης στρατηγικής» στο (συν)ανταγωνισμό ή στη συνεργασία μεταξύ παικτών σε επίπεδο ειδών ή μεμονωμένων ζώων. Αυτό έχει γίνει στις περιπτώσεις εκείνες όπου είναι δύσκολο να προβλέψει κανείς τα αποτελέσματα της φυσικής επιλογής, επειδή το καλύτερο που μπορεί να γίνει εξαρτάται από το τι κάνουν τα άλλα μέλη ενός πληθυσμού. Οι τεχνικές της θεωρίας παιγνίων χρησιμοποιήθηκαν πράγματι σε απλά μοντέλα «εξελικτικών παιχνιδιών» για να προσφέρουν μιαν εξήγηση για την εξέλιξη ορισμένων χαρακτηριστικών. Έτσι ο βρετανός βιολόγος John Maynard Smith διατύπωσε μια εξελικτική θεωρία παιγνίων, καταλήγοντας στην έννοια της «εξελικτικά ευσταθούς στρατηγικής» που, αν όλα σχεδόν τα μέλη ενός πληθυσμού υιοθετήσουν, καμία άλλη μεταλλαγμένη στρατηγική δεν μπορεί να αποδώσει καλύτερα έναντί της και να «απειλήσει» τον πληθυσμό.
Από την άλλη μεριά, κάποιοι είχαν ήδη υποθέσει ότι πιθανόν δεν χρειάζεται ένα τέλεια ορθολογικό ον για να αναγνωρίσει την καλύτερη στρατηγική και προσπάθησαν να εφαρμόσουν τη θεωρία σε μοντέλα θεμελιωδών μικροβιολογικών δομών. Το ενδιαφέρον είναι ότι ανακαλύφθηκε πως μικροσκοπικά μόρια RNA μπορεί πράγματι να εμπλακούν σε απλά παιχνίδια δύο παικτών. Αυτό, μεταξύ άλλων, παρακίνησε να εξεταστεί αν υπάρχει κάποια σύνδεση ανάμεσα στη θεωρία παιγνίων και το πιο θεμελιώδες επίπεδο βασικής επιστήμης, την κβαντική φυσική. Για παράδειγμα, αν ερμηνεύσουμε τις ανταποδόσεις ως ενεργειακά κέρδη, είναι δυνατόν να απεικονίσουμε το δίλημμα του κρατούμενου με όρους ενός απλού φυσικού μοντέλου δύο ηλεκτρονίων στις ηλεκτρονικές στοιβάδες ενός ατόμου. Ο Niels Bohr πίστευε ότι η ανακάλυψη της κβαντικής φυσικής σήμαινε κάτι παραπάνω από την ανακάλυψη των νόμων της μικροφυσικής, μια και βασικές πλευρές της κβαντικής μηχανικής (συμπληρωματικότητα, μη αντιμεταθετικότητα) θα μπορούσαν να εκδηλωθούν σε άλλους τομείς της επιστήμης. H ιδέα να συνδυαστεί η κβαντική μηχανική με τη θεωρία παιγνίων είναι κάτι που ξεκίνησε το 1999.
Την ίδια χρονιά τρεις γερμανοί φυσικοί πρότειναν την κβαντική εκδοχή του κλασικού παιχνιδιού του «διλήμματος του κρατούμενου». Κάνοντας χρήση τού χαρακτηριστικά αποκλειστικού γνωρίσματος της κβαντικής μηχανικής περί κβαντικά συσχετισμένων καταστάσεων, έδειξαν ότι σε ένα κβαντικό παιχνίδι η προκύπτουσα ανταπόδοση μπορεί να είναι υψηλότερη απ’ ό,τι σε ένα κλασικό παιχνίδι και κατέληξαν στο ότι η κβαντική εκδοχή του παιχνιδιού κατέχει μια μοναδική ισορροπία Nash, η οποία όμως ταυτόχρονα δίνει και τις μέγιστες δυνατές ανταποδόσεις (υπάρχει δηλαδή η λεγόμενη «βέλτιστη κατά Pareto ισορροπία», μια έννοια που επινοήθηκε από τον ιταλό οικονομολόγο Vilfredo Pareto). Προφανώς στο κβαντικό παιχνίδι οι παίκτες καταφέρνουν να λύσουν το δίλημμα! Δύο φτιάχνουν παρέα, τρεις αποτελούν πλήθος, όπως συνήθως λέγεται. Ήδη κλασικά συστήματα τριών σωματίων εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά. Και κβαντικά συστήματα πολλών σωματίων παρουσιάζουν ενδιαφέροντα πολύπλοκα φαινόμενα.
Αριθμητικές προσομοιώσεις που έγιναν σε επαναλαμβανόμενα κλασικά παιχνίδια έδειξαν ότι νέα φαινόμενα προκύπτουν στο όριο πολλών παικτών. Παράδειγμα είναι η κατάρρευση μιας χρηματιστηριακής αγοράς, που συμβαίνει όταν κάποιοι αποφασίσουν ξαφνικά να πουλήσουν τις μετοχές τους την ίδια χρονική στιγμή. H κβαντική εκδοχή ενός κλασικού παιχνιδιού πολλών παικτών εξακολουθεί να δείχνει ότι υπάρχει ανώτερο αποτέλεσμα από αυτό που μπορεί να επιτευχθεί κλασικά. Ουσιαστικά ο λόγος είναι ότι οι κβαντικές συσχετίσεις επιτρέπουν μεγαλύτερο αριθμό στρατηγικών ανάμεσα στις οποίες μπορεί κανείς να διαλέξει και, έτσι, χρειάζεται να ανταλλαγεί λιγότερη πληροφορία για να «παιχθεί» η κβαντική εκδοχή. Αυτό όμως αποτελεί εξιδανικευμένη περίπτωση. Όπως είναι ο κανόνας, το κβαντικό πλεονέκτημα χάνεται πάνω από μια κρίσιμη τιμή «περιβαλλοντικού θορύβου», που αναπόφευκτα συνοδεύει τα κανάλια επικοινωνίας και που τελικά κάνει τα κβαντικά παιχνίδια να μεταπίπτουν στη νομολογία της κλασικής θεωρίας παιγνίων.
ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ
H κβαντική θεωρία παιγνίων θα μπορούσε να συνδυαστεί με τη στατιστική μελέτη συστημάτων πολύ μεγάλου αριθμού σωματίων. Εκεί είναι γνωστό από συγκεκριμένα μοντέλα αλληλεπίδρασης των σωματίων, ότι κατά τις μετατροπές από μια φάση, όπως λέμε, σε μια άλλη, αρκούν πολύ μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες για να οδηγήσουν σε μεγάλες ποιοτικές αλλαγές στο αποτέλεσμα.
Στην κλασική θεωρία παιγνίων, από την άλλη μεριά, ένα δημοφιλές θέμα αποτελούν οι πολιτικές εκλογές. Αν υποθέσουμε μια κατ’ αντιστοιχία αλληλεπίδραση των πολλών ψηφοφόρων, μπορεί ένας υποψήφιος ή ένα κόμμα που ξεκινά με σχεδόν ίσους όρους με έναν αντίπαλο στο τέλος να κατισχύσει απλώς παίρνοντας την πρόσθετη υποστήριξη ενός μικρού τμήματος του πληθυσμού ή μιας μικρής περιοχής.
Στην ίδια κατεύθυνση, η ανταλλαγή και επεξεργασία της πληροφορίας που είδαμε στα κβαντικά παιχνίδια σημαίνει ότι πρέπει να υποβάλουμε το σύστημα σε μια διαδικασία μέτρησης. Και αυτό αναπόφευκτα το αλλάζει, καταστρέφοντας τις παλιές και δημιουργώντας νέες καταστάσεις. Με αυτή την έννοια έχει υποστηριχθεί η ιδέα ότι μια διαδικασία μέτρησης παριστάνει ένα παιχνίδι ενάντια στη φύση. Το ίδιο όμως μπορούμε να πούμε για μια δημοσκόπηση, ότι παριστάνει ένα παιχνίδι ενάντια στο εκλογικό σώμα.
Ομολογουμένως πολλές από τις παραπάνω θεωρήσεις βρίσκονται ακόμη σε ένα επίπεδο αδιευκρίνιστο. Και στον βαθμό που θα μπορούν στο μέλλον να ερευνηθούν και να διευκρινιστούν, ίσως θα χρειαστούν και οι υπόλοιπες πέντε ή έξι μέθοδοι που υπαινισσόταν ο Feynman για μια καλή κατανόηση. Προς το παρόν ας αρκεστούμε να φανταζόμαστε ότι πολλά πράγματα γύρω μας δεν φαίνεται παρά να αποτελούν ένα μεγάλο παιχνίδι.
Το γραφείο του είναι πνιγμένο στη σκόνη. Χαρτιά σχηματίζουν λόφους, κούτες με βιβλία βυθίζονται στη μοκέτα και σε έναν μαυροπίνακα είναι γραμμένοι με κιμωλία μαθηματικοί τύποι τους οποίους δεν μπορώ να αναγνωρίσω. Μια ακαταστασία που δεν μαρτυρά τεμπελιά ή παραίτηση, αλλά δημιουργικότητα. Γιατί όταν το μυαλό παιδεύεται για λύσεις σε πολύπλοκα προβλήματα, δεν περισσεύει χρόνος για τα μικρά, τα καθημερινά, τα ανθρώπινα. Ο Τζον Νας κάθεται σε μια γαλάζια ξύλινη καρέκλα. Τα δάχτυλά του είναι μακριά και λεπτά, με μυτερά νύχια που λογικά δεν έχουν κοπεί εδώ και αρκετές βδομάδες. Φορά ένα πράσινο πουκάμισο και ένα λαδί παντελόνι που έχει ανεβάσει αρκετά πιο πάνω από τη μέση του. Με καλησπερίζει με δειλή φωνή και χαμογελά με παιδική αθωότητα. Μου μιλά ταξιδεύοντας σε συνειρμούς. Διακόπτει το λόγο του συχνά. Παύσεις αμήχανες. Κενά σιωπής και σκέψης. Δεν διστάζει να με κοιτάξει στα μάτια. Αλλά όχι για πολύ. Το βλέμμα του δραπετεύει μόλις συναντήσει το δικό μου...
Πριν από 30 χρόνια, ο Νας φοβόταν να κοιτάξει κάποιον στα μάτια, τα μπροστινά του δόντια σάπιζαν και στο Πρίνστον ήταν γνωστός ως «Φάντασμα». Μιλούσε σε λίγους. Ζητούσε τσιγάρα ή φωτιά και άφηνε στους πίνακες γρίφους και παράξενα μηνύματα. Κι όμως, αυτός ο άντρας με τα αταίριαστα ρούχα και τα κόκκινα μποτάκια, που στοίχειωνε το τμήμα των μαθηματικών, ήταν ένα από τα πιο λαμπρά μυαλά του κόσμου.
Σήμερα συνεχίζει τη μελέτη του. Ακούραστος, αειθαλής και πεισματάρης. Διψασμένος για ανακαλύψεις, όπως όταν προτιμούσε τη μοναξιά των πειραμάτων παρά το παιχνίδι με συνομηλίκους του στο Bluefield της Δ. Βιρτζίνια. Ταξιδεύει συχνά για ομιλίες σε πανεπιστήμια και συνέδρια. Πέρασε και από την Ελλάδα το 2000 και μίλησε για το «Ιδανικό Χρήμα». Θυμάται ακόμα αυτή την επίσκεψη. Ειδικά τώρα, που η οικονομική κρίση της χώρας μας κάνει το γύρο του κόσμου.
«Η ευρωζώνη μοιάζει με ένα πλοίο. Αν κατέβει η Ελλάδα από το πλοίο υπάρχει η πιθανότητα αυτό να ανοίξει τα πανιά του και να ταξιδέψει χωρίς προβλήματα. Αν όμως μείνει η Ελλάδα στο πλοίο, χωρίς να ελέγξει το χρέος της, τότε το ευρώ μπορεί να χάσει την αίγλη του», μου λέει. «Έχω δει σε μια γελοιογραφία τον πρωθυπουργό της χώρας σας να βρίσκεται σ’ ένα ερημονήσι και γύρω του να κολυμπούν οι καρχαρίες που συμβολίζουν το Διεθνές Νομισματικό Ταμείο. Αν προσφύγει σ’ αυτό η Ελλάδα, θα πρέπει να δανειστεί χρήματα με πολύ πιο αυστηρούς όρους. Πάντως η Ελλάδα δεν είναι τριτοκοσμική χώρα. Δεν υπέφερε ποτέ από τρομερή φτώχεια. Δεν είναι σαν την Αϊτή που έχει ανάγκη από φιλανθρωπία μετά το σεισμό».
Βραβευτήκατε με Νόμπελ για τη θεμελίωση της σύγχρονης Θεωρίας των Παιγνίων. Θεωρείτε όμως αυτή την πιο σπουδαία σας ανακάλυψη ή προσφορά;
«Η καλύτερη ανακάλυψή σου είναι αυτή που επηρεάζει περισσότερο τον κόσμο. Το δικό μου έργο είχε μεγαλύτερη επίδραση στη «Θεωρία των Παιγνίων» απ’ όσο στην αλγεβρική γεωμετρία, τη διαφορική γεωμετρία, ή άλλους κλάδους στους οποίους εργάστηκα. Δεν λέω ότι το έργο μου στη «Θεωρία των Παιγνίων» δεν είναι καλό. Πολλές φορές όμως ξαφνιάζεσαι όταν εκτιμάται η προσφορά σου σ’ ένα χώρο για κάτι που έκανες πριν από πολύ καιρό».
Υπάρχει κάποια ανακάλυψη την οποία ζηλεύετε και θα ευχόσασταν να είχατε πραγματοποιήσει εσείς;
«Πολλές… Ορισμένες έγιναν πριν από τη γέννησή μου, όπως η «Θεωρία της Σχετικότητας», ή η Κβαντομηχανική. Τα τελευταία χρόνια όμως φαίνεται ότι προχωράμε αργά. Δεν υπάρχουν πολλές σπουδαίες ανακαλύψεις».
Πού οφείλεται αυτό;
«Πάντα υπάρχουν περίοδοι στην ιστορία που οι πολιτισμοί χαλαρώνουν, μειώνουν την ταχύτητά τους. Σίγουρα το έχετε παρατηρήσει αυτό στην Ελλάδα. Υπάρχουν στιγμές που δεν έχουμε πρόοδο ή που πραγματοποιούμε βήματα προς τα πίσω. Ίσως διανύουμε μια αντίστοιχη περίοδο. Το μεγαλύτερο σημάδι είναι το χάσιμο χρόνου στη Γενεύη με τις καθυστερήσεις στη λειτουργία του Επιταχυντή Αδρονίων στο CERN».
Μιλώντας για άγονες περιόδους, για σχεδόν 30 χρόνια παλέψατε με τη σχιζοφρένεια.
«Δεν θα έλεγα ότι «πάλεψα». Δεν ήταν μια μάχη. Αν πάλευα την ασθένεια, τότε δεν θα υπέφερα από τα συμπτώματά της. Θα σκεφτόμουν λογικά. Δεν ήθελα όμως τότε να αποδεχτώ ότι ήμουν πνευματικά ασθενής. Εμείς, οι άνθρωποι, είμαστε σκλάβοι του Δημιουργού μας ή, αν θέλετε, ενός ευρύτερου σχεδίου που καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούμε. Κάθε μέρος του σώματός μας επιτελεί μια συγκεκριμένη, προδιαγεγραμμένη λειτουργία. Το ίδιο ισχύει και για το μυαλό μας».
Γράψατε σε ένα δοκίμιο ότι η «λογική σκέψη θέτει όρια στον τρόπο με τον οποίο ένα άτομο αντιλαμβάνεται τη θέση του στον κόσμο». Με το να δραπετεύει κανείς από τις παράλογες σκέψεις γίνεται πιο ταπεινός ή χάνει κάτι από την ιδιοφυΐα του;
«Σίγουρα κάποιος γίνεται πιο ταπεινός, όταν μεταβαίνει από την τρέλα στη λογική. Όταν άρχισα να έχω παράλογες ιδέες νόμιζα ότι είχα αφυπνιστεί. Είχα την εντύπωση ότι ανακάλυπτα πράγματα που αλλιώς δεν θα τα ήξερα. Αλλά στην ουσία δεν επρόκειτο για πραγματική αφύπνιση. Ήταν λάθη, ψευδαισθήσεις. Ο γιος μου που πάσχει από ψυχική ασθένεια γνωρίζει το πρόβλημά του, ωστόσο δεν θέλει να δουλέψει για να το επιλύσει. Είναι δύσκολο να αποδεχτείς ότι δεν μπορείς να είσαι ο αυτοκράτορας του δικού σου σύμπαντος. Πρέπει να ζήσεις μαζί με άλλους ανθρώπους και να συμβιβαστείς με τους κανόνες που θέτουν άλλοι και όχι εσύ. Ήμουν και εγώ για αρκετό καιρό ο αυτοκράτορας του δικού μου σύμπαντος».
Υπάρχει η αντίληψη ότι τα «όρια μεταξύ ιδιοφυΐας και τρέλας είναι λεπτά».
«Αυτή είναι μια επικίνδυνη κουβέντα. Είναι αλήθεια ότι πολλά λαμπρά μυαλά είχαν κάποια ανωμαλία, κάποια διαφορά. Ο Newton κι ο Einstein πιστεύεται ότι έπασχαν από το Σύνδρομο Asperger. Δεν ήταν τρελοί, αλλά αυτιστικοί. Είχαν προβλήματα με τις κοινωνικές τους σχέσεις, προτιμούσαν να μένουν μόνοι τους με συντροφιά τις σκέψεις τους. Είναι δύσκολο να είσαι διανοούμενος και να πρέπει την ίδια στιγμή να συναναστρέφεσαι με άλλους».
Άρα η διανόηση φέρνει μοναξιά.
«Οι στοχαστές πρέπει να αφιερώνουν χρόνο στον εαυτό τους για να σκεφτούν. Υπάρχουν μελέτες που δείχνουν ότι οι άνθρωποι πάσχουν πιο σπάνια από ψυχικές ασθένειες αν ζουν σε αγροτικές περιοχές σε σχέση με τους κατοίκους των πόλεων. Στην εξοχή έχεις για συντροφιά σου τα ζώα και τη φύση. Στην πόλη βρίσκεσαι σ’ ένα περιβάλλον πίεσης. Έχεις να αντιμετωπίσεις τους ανθρώπους και η πρόκληση είναι μεγαλύτερη».
Όταν ο Οδυσσέας επέστρεψε στην Ιθάκη, διαπίστωσε προς έκπληξή του ότι ο κόσμος είχε αλλάξει κατά την απουσία του. Όταν ολοκληρώθηκε το δικό σας ταξίδι μετά από 30 χρόνια, τι ήταν αυτό που είχατε χάσει;
«Είχα χάσει χρόνο. Συνήλθα από την ασθένεια και ήμουν 60 ετών. Δεν ήξερα τι θα συνέβαινε στη ζωή μου αν δεν αρρώσταινα. Ίσως και να μην παρήγαγα κάτι σπουδαίο. Μπορεί να ήμουν ένας απλός εργάτης. Είχα το φόβο ότι θα γινόμουν ένας σκλάβος που θα έκανε δουλειά ρουτίνας και δεν θα κέρδιζε αναγνώριση ή σεβασμό. Εκείνη την περίοδο το πρόβλημά μου ήταν ότι ήθελα να κάνω κάτι καινούριο, διαφορετικό, σπουδαίο. Ίσως στην προσπάθειά μου να ξεφύγω από τη ρουτίνα, επιβάρυνα ψυχολογικά τον εαυτό μου και αυτό οδήγησε στην ασθένεια. Είναι μια πιθανότητα που δεν αποκλείω».
Ο Τζον Νας θέλει να κρατάει τον εαυτό του απασχολημένο. Έχει να διδάξει φοιτητές εδώ και πολλά χρόνια, αλλά πηγαίνει τακτικά στο γραφείο του στο «Fine Hall», τον πύργο του τμήματος μαθηματικών και φυσικής στο Princeton. Το 1994 τιμήθηκε με το Νόμπελ Οικονομικών για τη συμβολή του στη Θεωρία των Παιγνίων. Εισήγαγε την έννοια των στρατηγικών ισορροπίας στη θεωρία που είχαν αναπτύξει οι John von Neumann και Oscar Morgenstern. Σύμφωνα με τον Νας σε κάθε παιχνίδι υπάρχει τουλάχιστον μία κατάσταση ισορροπίας που αντιστοιχεί σε επιλογές στρατηγικής που παρέχουν τη βέλτιστη ανταπόδοση για δύο ή περισσότερους παίκτες.
Φανταστείτε το παράδειγμα που εμπνεύστηκε ο σεναριογράφος της ταινίας «Ένας υπέροχος άνθρωπος» («A Beautiful Mind»). Πέντε κοπέλες, μια ξανθιά και τέσσερις μελαχρινές μπαίνουν σε ένα μπαρ. Τέσσερις άντρες που τις βλέπουν γοητεύονται από τη ξανθιά. Αν όμως προσπαθήσουν όλοι να την κατακτήσουν θα ακυρώσουν τις προσπάθειές τους. Έπειτα θα στραφούν στις μελαχρινές, αλλά αυτές θα τους απορρίψουν, γιατί καμιά γυναίκα δε θέλει να έρχεται δεύτερη. Η μόνη λύση να κερδίσουν κάτι είναι να δοκιμάσει ο καθένας να ρίξει μια μελαχρινή. Μπορεί έτσι να μην κατακτήσουν την ξανθιά, αλλά τουλάχιστον δεν θα μείνουν με άδεια χέρια.
Οι έννοιες της Ισορροπίας και της Διαπραγμάτευσης που εισήγαγε ο Νας εφαρμόζονται σήμερα στη βιολογία, την πολιτική επιστήμη, την οικονομία, τις διεθνείς σχέσεις. Ο Νας όμως εξακολουθεί να δουλεύει πάνω στη «Θεωρία των Παιγνίων». «Προσπαθώ να αναπτύξω μια θεωρία που να εξηγεί πώς προκύπτει η αξιολόγηση για το κέρδος κάθε παίκτη. Έχω μια ιδέα αλλά χρειάζεται δουλειά. Πρέπει να ανακαλύψω τις ατέλειές της», μου λέει.
Οι συνάδελφοί σας λένε ότι τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι για νεαρά μυαλά.
«Χρησιμοποιώ τα μαθηματικά, αλλά δεν προσπαθώ να λύσω γρίφους που έχουν άμεση σχέση με αυτά. Δεν είμαι όμως απλά ένας γερασμένος μαθηματικός. Για πολλά χρόνια έλειπα. Δεν είχα επαφή με την επιστήμη λόγω της ασθένειας. Ίσως όμως κάποιος θα μπορούσε να πει ότι τα χρόνια της απουσίας μου με κάνουν πνευματικά νεώτερο. Το σίγουρο είναι ότι δε βρίσκομαι σε ηλικία συνταξιοδότησης. Δεν έχω συμπληρώσει τα απαραίτητα χρόνια. Ίσως βγω στη σύνταξη όταν φτάσω τα 100».
Αντιμετωπίζετε τα προβλήματα στην προσωπική σας ζωή με τον ίδιο τρόπο που λύνετε ένα πρόβλημα μαθηματικών;
«Η λογική δεν υπάρχει μόνο στα μαθηματικά. Υπάρχει στη φυσική, τη χημεία, τη νομική και άλλες επιστήμες. Στο παρελθόν σκέφτηκα να αντιμετωπίσω καταστάσεις στην προσωπική μου ζωή εφαρμόζοντας τη «Θεωρία των Παιγνίων». Όμως αντιλήφθηκα ότι αυτό θα ήταν λάθος. Η ανθρώπινη συμπεριφορά δεν βασίζεται πάντα μόνο στη λογική. Υπάρχει το συναίσθημα και το ένστικτο».
Κάθε πρόβλημα έχει τη λύση του;
«Αυτό είναι ένα φιλοσοφικό ερώτημα. Υπάρχουν στιγμές που νομίζουμε ότι για ορισμένα προβλήματα μόνο ο Θεός έχει την απάντηση. Για παράδειγμα, στα μαθηματικά, μένει ακόμα άλυτο ένα πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών, σύμφωνα με το οποίο κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών (πρόκειται για την άλυτη εικασία που διατύπωσε ο Christian Goldbach, το 1742). Μπορεί να ταξιδεύουμε στο διάστημα και να κάνουμε εκπληκτικά πράγματα, όμως ακόμα δεν έχουμε καταφέρει να αποδείξουμε αυτή τη θεωρία».
Η κατάκτηση της γνώσης μάς κάνει πιο χαρούμενους ή πιο δυστυχείς;
«Ίσως θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε την ευεργετική δράση της άγνοιας αν ζούσαμε σ’ έναν παράδεισο, σ’ έναν Κήπο της Εδέμ. Δεν θα τρώγαμε από το δέντρο της γνώσης και έτσι δεν θα ανακαλύπταμε τη φθορά. Θα κερδίζαμε την αθανασία».
Είναι ο θάνατος ένας από τους φόβους σας;
«Η θνητότητα είναι κάτι το αναπόφευκτο. Επομένως, δεν είναι φυσιολογικό να τη φοβάσαι. Σίγουρα παίζει ρόλο σε αυτό και η ηλικία. Ένας νέος άνθρωπος νιώθει άτρωτος, αθάνατος. Αργότερα όμως διαπιστώνει πόσο τον φθείρει ο χρόνος, πως οδηγείται στο θάνατο. Έχω μάθει να ζω τώρα μέρα με τη μέρα. Έχω ελπίδες και επιδιώξεις, αλλά δεν κάνω μεγάλα όνειρα. Θέλω να συνεχίσω το έργο και να προσφέρω μέχρι εκεί που μπορώ».
ΠΗΓΕΣ
2. www.en.wikipedia.org,
3. www.mathsforyou.gr,
4. www.princeton.edu,
5. www.ask.com,
6. www.press.princeton.edu,
7. www.math.princeton.edu,
8. www.pbs.org
9. www.el.wikipedia.org
.JPG)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου